求证：x^2+5=y^3无整数解

显然y必须大于零
因此题目可以化为
“无正整数解”

等式两边同时模5(模就是做除法后取余数)
可以发现
x^2模5后的余数可以是
1，4，4，1，0
且呈周期性变化

5模5后的余数是0

y^3模5后的余数是
1，3，2，4，0
且呈周期性变化

要使等式成立
就必须使等式两边模5后的余数相同
由于5模5后的余数是0
也就要使
x^2模5后的余数等于y^3模5后的余数
表示为
X^2(mod5)=y^3(mod5)=k

情况一：
k=0
=>X^2(mod5)=y^3(mod5)=0
=>X(mod5)=y(mod5)=0
设x=5a,y=5b,a>=1,b>=1(以保证是正整数)
=>(5a)^2+5=(5b)^3
=>25a^2+1=125b^3
显然
25a^2+1(mod25)=1
125b^3(mod25)=25*5b^3(mod25)=0
两边模25 不等
因此这种情况无解

情况二：
X^2(mod5)=y^3(mod5)=1
此时再对原等式两边模4
x^2模4后可能是 0，1
5模4后为1
Y^3模4后可能是1，0，3，

显然要使等式成立
就必须使
x^2模4后是 0
Y^3模4后是1

由前者可以推得x是偶数
后者可以推得Y模4后余数是1

由 y^3(mod5)=1
=> y(mod5)=1
又因为Y模4后余数是1
=>y(mod20)=1

x是偶数
且
x（mod5）=1或4
可见
x的个位数是4或6
=>x(mod20)=4,6,14,16